Explicando um modelo de espalhamento de doenças que tem sido bastante utilizado para descrever a evolução da COVID-19

Quando Newton descreveu a queda de uma maçã usando a lei da gravitação, ele encontrou uma maneira de descrever a queda dos corpos que funciona não só para maçãs, mas para bananas, mangas ou melancias. Funciona não só na Inglaterra, mas em qualquer outro país, ou em qualquer outro planeta. Essa é a beleza de encontrarmos bons modelos. Conhecendo o limite de validade do modelo, podemos fazer generalizações com razoável segurança. Podemos inclusive descrever a queda de uma fruta de que nunca tenhamos ouvido falar antes. 

Quando falamos de espalhamento de doenças, epidemias ou pandemias, existem algumas propriedades que são comuns a este processo independente do tipo da doença: gripe, ebola, rubéola; ou do país onde ela se espalha: China, Inglaterra, Brasil.  No exemplo do Newton, a força que o planeta exerce sobre uma fruta muda dependendo da massa da fruta e do planeta, mas a equação para a força gravitacional com que um corpo atrai o outro continua a mesma. Nos modelos de espalhamento de epidemia cada doença ou cada país pode ter parâmetros diferentes na velocidade do espalhamento ou da recuperação de infectados por exemplo. Mas, em princípio, um modelo epidêmico pode ser útil para estudarmos, inclusive, uma doença nova que descobrimos há apenas alguns meses como a COVID-19.  

Um dos modelos mais utilizados para descrever o espalhamento de doenças é chamado SIR e considera que cada indivíduo de uma população pode estar em 3 estados possíveis: Suscetível  (ainda não foi contaminado e não possui resistência ao vírus), Infectado (doente e transmitindo a doença) ou Removido (indivíduo curado ou morto). Indivíduos Suscetíveis podem tornar-se Infectados quando contaminados e, depois de um certo tempo, se recuperam ou falecem (tornando-se Removidos). Eventualmente todo Infectado se tornará Removido, mas nem todo Suscetível se tornará Infectado. Portanto, consideramos que a quantidade de  pessoas suscetíveis S, infectadas I e removidas R varia no tempo t. A dinâmica da população é exatamente a descrição de como esses números variam no tempo, e pode ser representada por um conjunto de equações diferenciais (equações para taxas de variações no tempo). Essas equações precisam garantir que S diminui cada vez que alguém é infectado (e consequentemente I aumenta) e que I diminui cada vez que alguém se recupera ou morre (o que aumenta R). Assim, numa população com um número fixo de N pessoas, a quantidade total de indivíduos Suscetíveis, mais a de indivíduos Infectados, mais a de pessoas Removidas (S+R+I) é fixa e igual a N.

Uma variante deste modelo chamada SEIR tem sido utilizada pelo grupo de epidemiologistas do Imperial College para estimar a evolução da epidemia de COVID-19 em vários países [1]. Os estudos desse grupo têm influenciado as decisões políticas do Reino Unido sobre a necessidade de isolamento da população. O modelo SEIR descreve como varia no tempo a quantidade de indivíduos Suscetíveis, Expostos (foram contaminados mas estão em período de incubação e ainda não são contagiosos), Infecciosos (o indivíduo pode transmitir a doença e os indivíduos sintomáticos começam a exibir os primeiros sintomas) e Removidos (pessoas isoladas que podem vir a ser curadas, hospitalizadas ou mortas). 

Figura 1: Esquema do modelo SEIR para descrever a propagação de doenças como a COVID-19. O parâmetro mais importante do modelo é o R0 chamado número de reprodução da doença e indica em média quantos Suscetíveis são infectados por um Infeccioso. Modificada das Refs. [2,5].

 

Na figura 1 podemos ter uma ideia do tempo médio que um indivíduo passa nos estados E e I (tempo de incubação e tempo infeccioso). Esses tempos dependem dos dados clínicos da doença e foram estimados na referência [1]. A taxa com que Suscetíveis viram Expostos depende tanto do tempo infeccioso (Tinf) como do parâmetro epidemiológico R0, chamado de número de reprodução de base. Na prática, este é o nosso parâmetro mais importante: R0 representa o número médio de contágios provocados por um indivíduo Infeccioso. No caso da COVID-19 estima-se R0 entre 2,4 e 3,0 [1]. Ou seja, uma pessoa doente, infecta entre 2 e 3 pessoas durante todo o período em que transmite a doença. Portanto a taxa com que o número S diminui no tempo é proporcional a R0/Tinf (veja Ref. [1,2,3] para saber mais detalhes matemáticos do modelo).

O número de reprodução efetivo Ref é proporcional ao R0 e à mobilidade dos indivíduos e, portanto, varia quando medidas de isolamento são tomadas. Por exemplo, se todos os Expostos fossem perfeitamente isolados antes de passarem a ser Infecciosos, eles não transmitiriam a doença para mais ninguém e Ref seria zero. Quando Ref>1 a doença infecciosa se espalha exponencialmente pela população; quando Ref<1 o número de Infecciosos passa a diminuir e a doença não tem potencial para se propagar na população. Para um R0 de 2,7, típico do coronavirus, é necessária uma redução de cerca de 70% na mobilidade das cidades para garantir Ref<1. Esta redução tão rígida é o que temos chamado lockdown.  

Nos últimos dias, o grupo do Imperial College publicou um novo estudo [4] estimando o Ref de vários países baseados na evolução da doença em cada lugar por diferentes métodos. Nesse artigo o Ref do Brasil foi calculado em 2,8 enquanto o da Alemanha foi de 0,8.  Ou seja, mantendo fixas as medidas de isolamento nos dois países, o número de novos infectados deve seguir diminuindo na Alemanha, e aumentando aqui no Brasil. É importante salientar que qualquer diminuição no Ref gera o tão citado achatamento da curva e pode ajudar a não sobrecarregar os hospitais. Por isso, reduções de mobilidade de cerca de 50%, ainda que não garantam a diminuição exponencial do número de infectados (como ocorreria com o lockdown), estão sendo fundamentais para os estados se preparem para enfrentar o pico da epidemia, por exemplo, comprando testes, EPIs, contratando profissionais de saúde e expandindo o número de leitos.

Utilizando dados específico da COVID-19 como porcentagem de pessoas hospitalizadas e taxa de fatalidade da doença por faixa etária, é possível usar o modelo SEIR para estimar o número de leitos que serão utilizados nos hospitais em cada estado. Por exemplo, um grupo de pesquisadores brasileiros tem empregado o modelo do Imperial College [1] para estimar a evolução da doença no estado de Alagoas e em outros estados do Nordeste [4]. Utilizando a pirâmide etária de Alagoas e as proporções de casos hospitalizados, internados em UTI e fatalidades distribuídas por faixa etária (obtidas a partir de dados de COVID-19 na China [1]) foi encontrado que 96,8% dos Removidos terão sintomas leves ou serão assintomáticos, 2,4% precisarão ser internados em leitos normais de hospital e 0,8% precisarão de leitos de UTI (veja Fig. 2) [4].

Figura 2: Esquema do modelo SEIR incluindo as informações sobre os Removidos para estimar número de leitos necessários nos hospitais da região. Os doentes podem ser separados em três grupos: sintomas leves ou assintomáticos, os que necessitam leitos normais de hospital e os que necessitam UTI. Modificada da Ref. [5].

 

Simulações da evolução do modelo SEIR para o estado de Alagoas indicavam que se, no começo de abril, as medidas de isolamento social fossem suspensas seriam necessários mais de 5000 leitos de UTI em junho. Na Fig. 3a vemos os resultados das estimativas de leitos necessários caso não fossem mantidas as medidas de isolamento social iniciadas em março (usando 𝑅0=2,7). Foram utilizados número diferentes de Infecciosos iniciais I(t=0)) para levar em conta a subnotificação dos casos: as linhas tracejadas indicam I(t=0)=30, enquanto as contínuas mostram os resultados para I(t=0)=300. Visto que o número de leitos de UTI no estado em maio será pouco maior que 250, o estudo mostrou não apenas que o isolamento social deveria ser mantido, mas também que a taxa de mobilidade deveria ser ainda menor para diminuir o Ref no estado e achatar a curva roxa na Fig. 3a. De fato, um segundo relatório comparou a ocupação real das UTIs com as simulações para Ref=1,5 considerando a redução na mobilidade graças às medidas de isolamento (ver Fig. 3b.). Esse tipo de previsão pode auxiliar nas decisões políticas de diferentes regiões sobre a necessidade de lockdown e no esclarecimento das dúvidas da sociedade sobre por que tantos sacrifícios são necessários nesses tempos de pandemia. Para saber mais sobre isto indico o excelente vídeo da Ref. [6] e outros sites confiáveis na Ref [7].

 

Figura 3: Simulação computacional utilizando o modelo SEIR com dados do estado de Alagoas para estimar número de leitos hospitalares necessários durante a epidemia de COVID-19. (a) Estimativa no caso sem isolamento social. (b) Estimativa mantendo o isolamento adotado em março e comparação com os dados reais de internados. Modificada da Ref. [5]

 

Referências 

[1] Neil M Ferguson, Daniel Laydon, Gemma Nedjati-Gilaniet al.Impact of non-pharmaceutical interventions (NPIs) to reduce COVID-19 mortality and healthcare demand.Imperial College London (16-03-2020),doi:https://doi.org/10.25561/77482.

[2] Binti Hamzah FA, Lau C, Nazri H, Ligot DV, Lee G, Tan CL, et al. CoronaTracker: World-wide COVID-19 Outbreak Data Analysis and Prediction. [Submitted]. Bull World Health Organ. E-pub: 19 March 2020. doi: http://dx.doi.org/10.2471/BLT.20.255695

[3] O modelo SEIR é matematicamente descrito pelas 4 equações diferenciais a seguir. (É possível também utilizar um modelo SEIR para cada município e acrescentar ao modelo os efeitos da mobilidade das pessoas entre as cidades.)

[4] https://mrc-ide.github.io/covid19-short-term-forecasts/index.html

[5] Relatórios sobre COVID-19 no estado de Alagoas: https://im.ufal.br/laboratorio/led/iniciativas-covid19/.

[6] Vídeo do Átila Iamarindo sobre a necessidade de Lockdown: https://youtu.be/gs-HlvC5iJc

[7] Outros sites úteis e confiáveis com números e informações sobre a pandemia:

https://www.worldometers.info/coronavirus/

https://covid19br.wcota.me/

https://www.comitecientifico-ne.com.br/

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